JAF非会員でJAF呼んだがその場で現金ないと警察行き?

いいえ、そんなことはありません。安心して下さい。

こちらでも軽く触れていますが、料金は後日郵送とかではなくその場で請求されます。
例えば「パンク修理終わりました。2万円いただきます!」みたいな。現金またはクレジットカードで払えます。
え、受付の電話でそんなこと聞いてないし、と思うかもしれませんがそういう仕組みなのです。

コンビニで下ろせばあるという人は良いですが、通帳の残高でも手配できない人はその旨を係員に伝えると、
身分証の提示を求められ番号を控えられ、「ではこの誓約書に記入して下さい」となります。
誓約書には自分の住所や名前、電話番号を記入する欄があり「2週間以内に支払わない場合は法的手段に出ます」と書かれています。
かなり仰々しい書類ですがばっくれる人も多いんでしょう。仕方ありません。
料金は最初の請求額そのままで延滞料や追加手数料が入ることはありません。
もし給料日までまだまだだ、2週間でも払えないわという人は誰かから借りるか、消費者金融から借りるか、あるいは日払い派遣などをしてなんとかして確保する必要があります。

そして肝心の支払い方法はというと、係員が専用の機械でその場でコンビニ支払い用紙を発行してくれます。感熱紙なので長くは持たないので気をつけましょう。
今後同様の事態を避けたいと言うことであれば、クレジットカードを持つか、JAFに入会するかなど対策を考えた方がいいかもしれません。